Visualization for Machine Learning

Autumn 2025

Topological Data Analysis

O que é topologia?

A topologia estuda a forma dos objetos matemáticos
Diferente da geometria, ela não se importa com tamanhos, ângulos, nem coordenadas
Ela se importa com a conectividade (ou a falta dela) entre as diferentes “partes” do objeto
Dois objetos são topologicamente equivalentes se pudermos transformar um no outro com transformações contínuas (sem rasgar o objeto)

O que é topologia?

Por que topologia?

Como a topologia analisa a forma descartando informações possivelmente desnecessárias, ela é frequentemente usada para analisar objetos de alta dimensionalidade
Topological Data Analysis (TDA) usa técnicas da topologia para analisar datasets
Para fazer isso, é necessário construir representações topológicas dos pontos do dataset

Por que topologia? - Um exemplo em química

Por que topologia? - Um exemplo em biologia

Números de Betti

O \(d\)-ésimo número de Betti conta o número de buracos de dimensão \(d\). Ele pode ser usado para distinguir entre espaços.

\(\beta_0(X)\) Componentes conexas em X
\(\beta_1(X)\) Túneis ou buracos em X
\(\beta_2(X)\) Vazios em X

Primeiro Exemplo - Mapa

O que é um pico?

Primeiro Exemplo - Mapa

O que é um pico?

Primeira ideia: usar o máximo local

Primeiro Exemplo - Mapa

O que é um pico?

Segunda ideia: inundação

Primeiro Exemplo - Mapa

O que é um pico?

Segunda ideia: inundação

Primeiro Exemplo - Mapa

O que é um pico?

Segunda ideia: inundação

Primeiro Exemplo - Mapa

O que é um pico?

Segunda ideia: inundação

Primeiro Exemplo - Mapa

O que é um pico?

Segunda ideia: inundação

Primeiro Exemplo - Mapa

O que é um pico?

Segunda ideia: inundação

Primeiro Exemplo - Mapa

O que é um pico?

Segunda ideia: inundação

Primeiro Exemplo - Mapa

A ilha \(I\) aparece no nível do mar \(b\) (seu tempo de nascimento)…

Primeiro Exemplo - Mapa

A ilha \(I\) aparece no nível do mar \(b\) (seu tempo de nascimento)…

e desaparece no nível do mar \(d\) (seu tempo de morte) no máximo local \(x\).

O ponto \(x\) é um pico se a persistência\(:= d-b\) da ilha \(I\) for maior que \(91\)m (=\(300\)ft).

Primeiro Exemplo - Mapa

O diagrama de persistência (PD) da função de elevação é a coleção dos pontos \((b,d)\), onde \((b,d)\) corresponde ao nascimento/morte de uma ilha.

Primeiro Exemplo - Mapa

O diagrama de persistência (PD) da função de elevação é a coleção dos pontos \((b,d)\), onde \((b,d)\) corresponde ao nascimento/morte de uma ilha.

Segundo Exemplo

Diagrama de persistência

Distância entre diagramas de persistência

Se tivermos mais de um diagrama de persistência, como medimos a distância entre eles?

Distância entre diagramas de persistência

Colocamos os dois no mesmo diagrama

Distância entre diagramas de persistência

Colocamos os dois no mesmo diagrama

Obtemos o pareamento ótimo entre os pontos (incluindo a diagonal)

Distância entre diagramas de persistência

Colocamos os dois no mesmo diagrama

Obtemos o pareamento ótimo entre os pontos (incluindo a diagonal)

A distância bottleneck entre eles será a maior distância de par

Complexos simpliciais

Definição

Chamamos de complexo simplicial abstrato a uma família não vazia de conjuntos \(K\) com uma coleção de subconjuntos não vazios \(S\) se:

\(\{v\} \in S\) para todo \(v \in K\)
Se \(\sigma \in S\) e \(\tau \subseteq \sigma\), então \(\tau \in K\).

Terminologia

Os elementos de um complexo simplicial \(K\) são chamados de simplices. Um \(k\)-simplex consiste de \(k+1\) vértices.

Complexos simpliciais

Exemplo

Complexos simpliciais podem ser decompostos em seus esqueletos, que contêm apenas simplices de uma determinada dimensão.

Complexos simpliciais

Exemplo

Complexos simpliciais podem ser decompostos em seus esqueletos, que contêm apenas simplices de uma determinada dimensão.

Complexos simpliciais

Exemplo

Complexos simpliciais podem ser decompostos em seus esqueletos, que contêm apenas simplices de uma determinada dimensão.

Complexos simpliciais

Exemplo

Complexos simpliciais podem ser decompostos em seus esqueletos, que contêm apenas simplices de uma determinada dimensão.

Complexos simpliciais

Não-exemplo

Isto não é um complexo simplicial porque alguns simplices de dimensão maior não se intersectam em um de dimensão menor!

Complexos simpliciais

Exemplo

Note que \(K\) não contém o 2-simplex \(\{a,b,c\}\)

De nuvens de pontos a complexos simpliciais

Estratégia 1: Triangulação

Construindo o complexo simplicial dos dados

Construção de Vietoris-Rips

Definição

Dado um conjunto de pontos \(\mathcal{X} = \{x_1,\dots,x_n\}\) e uma métrica \(dist\) (como a distância euclidiana), escolha um limiar \(\epsilon\) e construa o complexo de Vietoris-Rips \(\mathcal{V}_\epsilon\) definido como:

\[\mathcal{V}_\epsilon := \{\sigma \subseteq \mathcal{X} | \forall u,v \in \sigma : dist(u,v) \leq \epsilon\}\]

Equivalentemente, \(\mathcal{V}_\epsilon\) contém todos os simplices cujo diâmetro é menor ou igual a \(\epsilon\).

Construção de Vietoris-Rips

Exemplo

Desenhe bolas euclidianas (círculos) de diâmetro \(\epsilon\) e crie um \(k\)-simplex \(\sigma\) para cada subconjunto de \(k+1\) pontos que se intersectam par a par.

Alguns detalhes sobre esta construção

Esta construção remonta a um artigo de 1927 de Leopold Vietoris\(^1\)
Um paper de 2010 de Afra Zomorodian\(^2\) descreve vários algoritmos de construção
A ideia básica é construir simplices de dimensão maior indutivamente a partir dos de dimensão menor
No pior caso, o complexo de Vietoris-Rips conterá todos os \(2^n\) subconjuntos de sua nuvem de pontos original \(\mathcal{X}\)!

Os números de Betti de um complexo de Vietoris-Rips

Exemplo

Problemas com esta abordagem

Como escolher \(\epsilon\)?
Pode não haver um valor ‘correto’ para \(\epsilon\).
Computacionalmente ineficiente

Escolhendo \(\epsilon\) - Persistência Topológica

Intuição: Percorrer todas as escalas e acompanhar as características topológicas

Escolhendo \(\epsilon\) - Persistência Topológica

Intuição: Percorrer todas as escalas e acompanhar as características topológicas

Escolhendo \(\epsilon\) - Persistência Topológica

Intuição: Percorrer todas as escalas e acompanhar as características topológicas

Escolhendo \(\epsilon\) - Persistência Topológica

Intuição: Percorrer todas as escalas e acompanhar as características topológicas

Escolhendo \(\epsilon\) - Persistência Topológica

Intuição: Percorrer todas as escalas e acompanhar as características topológicas

Estratégia 2: Esqueleto de dados

O algoritmo Mapper

Mundo Matemático

Começamos no “Mundo Matemático”, onde

Desenhamos os dados como uma variedade suave
As funções que aparecem são suaves ou contínuas

Não vamos precisar de nenhuma dessas suposições uma vez que estivermos no “Mundo dos Dados”.

Mais importante ainda, os dados no mundo real nunca são assim.

Mundo Matemático