Topología

¿Qué es la Topología?

La topología es el estudio matemático de la forma y el espacio, enfocado en las propiedades que se preservan bajo deformaciones continuas (estirar, doblar, pero no rasgar ni pegar).

¿Qué es la Topología?

La topología es el estudio matemático de la forma y el espacio, enfocado en las propiedades que se preservan bajo deformaciones continuas (estirar, doblar, pero no rasgar ni pegar).
Generaliza la geometría y el análisis.

Ejemplos

Conjuntos abiertos/cerrados

Ejemplos

Conjuntos abiertos/cerrados
Continuidad

Ejemplos

Conjuntos abiertos/cerrados
Continuidad
Compacidad

Ejemplos

Conjuntos abiertos/cerrados
Continuidad
Compacidad
Conectividad

Espacios Topológicos

Un espacio topológico es un conjunto \(\mathcal{X}\) con una colección \(\mathcal{T}\) de subconjuntos que satisface:

\(\emptyset \in \mathcal{T}, \mathcal{X} \in \mathcal{T}\)
Cerrado bajo uniones arbitrarias
Cerrado bajo intersecciones finitas

Espacios Topológicos

Un espacio topológico es un conjunto \(\mathcal{X}\) con una colección \(\mathcal{T}\) de subconjuntos que satisface:

\(\emptyset \in \mathcal{T}, \mathcal{X} \in \mathcal{T}\)
Cerrado bajo uniones arbitrarias
Cerrado bajo intersecciones finitas

Ejemplo: Los números reales \(\mathbb{R}\) con la topología estándar.

Conjuntos Abiertos en Python

import numpy as np

# Define a basic open interval (0, 1)
X = np.linspace(0, 1, 100, endpoint=False)

# Visualize it
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(X, np.zeros_like(X), 'o')
plt.title("Intervalo abierto (0,1)")
plt.show()

Funciones Continuas

Una función \(f: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}\) es continua si la preimagen de todo conjunto abierto en \(\mathcal{Y}\) es abierta en \(\mathcal{X}\).

Funciones Continuas

Una función \(f: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}\) es continua si la preimagen de todo conjunto abierto en \(\mathcal{Y}\) es abierta en \(\mathcal{X}\). Ejemplo: \(f(x) = X^2\) es continua en \(\mathbb{R}\).

Funciones Continuas

import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = x**2

plt.plot(x, y)
plt.title("f(x) = x² es continua")
plt.grid(True)
plt.show()

Homeomorfismo

Un homeomorfismo es una función biyectiva (uno a uno y sobreyectiva) y continua entre dos espacios topológicos, con inversa continua.

Homeomorfismo

Un homeomorfismo es una función biyectiva (uno a uno y sobreyectiva) y continua entre dos espacios topológicos, con inversa continua.

Una función biyectiva y continua con inversa continua.
Los espacios homeomorfos son “topológicamente iguales”.

Homeomorfismo

Un homeomorfismo es una función biyectiva (uno a uno y sobreyectiva) y continua entre dos espacios topológicos, con inversa continua.

Una función biyectiva y continua con inversa continua.
Los espacios homeomorfos son “topológicamente iguales”.

Ejemplo:

Una taza de café y una dona (toro) son homeomorfas—ambas tienen un solo agujero.
Un círculo y un cuadrado son homeomorfos, pero un círculo y un segmento de recta no lo son.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
circle_x, circle_y = np.cos(theta), np.sin(theta)
square_x, square_y = np.sign(np.cos(theta)), np.sign(np.sin(theta))

plt.plot(circle_x, circle_y, label='Círculo')
plt.plot(square_x, square_y, label='Cuadrado (homeomorfo)', linestyle='--')
plt.axis('equal')
plt.title('Formas Homeomorfas: Círculo y Cuadrado')
plt.show()

Ejemplo: Topología en Grafos

import networkx as nx

G = nx.cycle_graph(5)
nx.draw_circular(G, with_labels=True, node_color='skyblue')

Invariantes Topológicos

Un invariante topológico es una propiedad de un espacio topológico que permanece inalterada bajo homeomorfismos. Ayuda a clasificar y distinguir distintos espacios.

Invariantes Topológicos

Un invariante topológico es una propiedad de un espacio topológico que permanece inalterada bajo homeomorfismos. Ayuda a clasificar y distinguir distintos espacios.

Característica de Euler (invariante clásico)

La Característica de Euler (denotada \(\mathcal{X}\)) es un invariante topológico — un número que describe la forma o estructura de un espacio topológico de una manera que permanece inalterada bajo deformaciones continuas (como estirar o doblar, pero no rasgar ni pegar).

Característica de Euler (invariante clásico)

La Característica de Euler (denotada \(\mathcal{X}\)) es un invariante topológico — un número que describe la forma o estructura de un espacio topológico de una manera que permanece inalterada bajo deformaciones continuas (como estirar o doblar, pero no rasgar ni pegar).

\(\mathcal{X} = V -E + F\)

Característica de Euler (invariante clásico)

La Característica de Euler (denotada \(\mathcal{X}\)) es un invariante topológico — un número que describe la forma o estructura de un espacio topológico de una manera que permanece inalterada bajo deformaciones continuas (como estirar o doblar, pero no rasgar ni pegar).

\(\mathcal{X} = V -E + F\)

Donde:

\(V\): Número de vértices (esquinas o puntos)
\(E\): Número de aristas (segmentos de recta que conectan vértices)
\(F\): Número de caras (superficies planas delimitadas por aristas)

Esta fórmula se aplica a muchas superficies poliédricas (como cubos, pirámides, etc.) y también se generaliza a otros espacios topológicos.

Característica de Euler (invariante clásico)

¿Por qué es importante?

Característica de Euler (invariante clásico)

¿Por qué es importante?

Invariante topológico: No cambia al estirar, doblar o torcer (homeomorfismos).

Característica de Euler (invariante clásico)

¿Por qué es importante?

Invariante topológico: No cambia al estirar, doblar o torcer (homeomorfismos).
Ayuda a clasificar superficies:
- Esfera: \(\mathcal{X} = 2\)
- Toro (dona): \(\mathcal{X} = 0\)
- doble toro: \(\mathcal{X} = -2\)

Característica de Euler (invariante clásico)

¿Por qué es importante?

Invariante topológico: No cambia al estirar, doblar o torcer (homeomorfismos).
Ayuda a clasificar superficies:
- Esfera: \(\mathcal{X} = 2\)
- Toro (dona): \(\mathcal{X} = 0\)
- doble toro: \(\mathcal{X} = -2\)
Te dice sobre el número de agujeros: \(\mathcal{X} = 2 - 2g\) (para una superficie cerrada y orientable de género g) donde g es el número de “agujeros”.

Relación con la homología

La característica de Euler es también la suma alternada de los números de Betti (de la homología):

\(\mathcal{X} = \beta_0 - \beta_1 + \beta_2 - \dots\)

Donde:

\(\beta_0\): Número de componentes conexas
\(\beta_1\): Número de bucles/agujeros
\(\beta_2\): Número de huecos (como espacios vacíos en 3D)
Y así sucesivamente…

Definición Topológica General

De manera más general, en topología algebraica, la característica de Euler es la suma alternada de los números de Betti:

\(\mathcal{X} = \sum_{k=0}^n (-1)^k \beta_k\)

Donde:

\(\beta_0\): Número de componentes conexas
\(\beta_1\): Número de bucles/agujeros
\(\beta_2\): Número de huecos (como espacios vacíos en 3D)
Y así sucesivamente…

¿Qué es un Símplice?

Un símplice es una generalización de un triángulo o tetraedro a cualquier dimensión.

¿Qué es un Símplice?

Un símplice es una generalización de un triángulo o tetraedro a cualquier dimensión.

¿Qué es un Símplice?

Un símplice es una generalización de un triángulo o tetraedro a cualquier dimensión.

Cada símplice contiene todas sus caras, es decir, un 2-símplice contiene las 3 aristas y los 3 vértices que lo definen.

¿Qué es un Complejo Simplicial?

Un complejo simplicial es una colección de símplices (puntos, aristas, triángulos, etc.) unidos de forma coherente:

¿Qué es un Complejo Simplicial?

Un complejo simplicial es una colección de símplices (puntos, aristas, triángulos, etc.) unidos de forma coherente:

Toda cara de un símplice también debe estar en el complejo.
La intersección de dos símplices es vacía o es una cara compartida.

¿Qué es un Complejo Simplicial?

Un complejo simplicial es una colección de símplices (puntos, aristas, triángulos, etc.) unidos de forma coherente:

Toda cara de un símplice también debe estar en el complejo.
La intersección de dos símplices es vacía o es una cara compartida.

Es como construir una forma con bloques de Lego, donde cada bloque es un símplice.

¿Qué es el Complejo de Vietoris–Rips?

El complejo de Vietoris–Rips (o complejo de Rips) es una forma de aproximar la forma de una nube de puntos (un dataset en el espacio Euclídeo) construyendo un complejo simplicial.

¿Qué es el Complejo de Vietoris–Rips?

El complejo de Vietoris–Rips (o complejo de Rips) es una forma de aproximar la forma de una nube de puntos (un dataset en el espacio Euclídeo) construyendo un complejo simplicial.

¿Cómo funciona?

¿Qué es el Complejo de Vietoris–Rips?

El complejo de Vietoris–Rips (o complejo de Rips) es una forma de aproximar la forma de una nube de puntos (un dataset en el espacio Euclídeo) construyendo un complejo simplicial.

¿Cómo funciona?

Dado un conjunto de puntos \(\mathcal{X}\) y un umbral de distancia \(\epsilon\):

Convierte cada punto de datos en un 0-símplice
Conecta dos puntos si su distancia es menor que \(\epsilon\) (1-símplice)
Rellena un triángulo si existen las tres aristas entre tres puntos (2-símplice)
Agrégalos cuando todas las aristas por pares están presentes

¿Qué es el Complejo de Vietoris–Rips?

Propósito:

Este complejo ofrece una representación discreta y combinatoria de la forma de los datos a una escala dada \(\epsilon\). Calculamos la homología de este complejo para detectar:

Componentes conexas (dimensión 0)
Bucles (dimensión 1)
Huecos (dimensión 2), etc.

Homología Persistente

La homología persistente rastrea características topológicas (por ejemplo, componentes conexas, agujeros, huecos) a través de múltiples escalas de un dataset.

Homología Persistente

La homología persistente rastrea características topológicas (por ejemplo, componentes conexas, agujeros, huecos) a través de múltiples escalas de un dataset.

Dada una nube de puntos, conectamos los puntos cercanos y rastreamos cómo evolucionan las componentes conexas y los agujeros a medida que aumentamos la escala.

Homología Persistente

La homología persistente rastrea características topológicas (por ejemplo, componentes conexas, agujeros, huecos) a través de múltiples escalas de un dataset.

Dada una nube de puntos, conectamos los puntos cercanos y rastreamos cómo evolucionan las componentes conexas y los agujeros a medida que aumentamos la escala.
Las características que persisten a través de muchas escalas se consideran significativas, mientras que las de corta duración probablemente sean ruido.

Homología Persistente - ¿cómo se calcula?

Construir complejos simpliciales (como el complejo de Vietoris-Rips)
Calcular los grupos de homología (números de Betti)
Visualizar con diagramas de persistencia o barcodes

from sklearn.datasets import make_circles
from gtda.homology import VietorisRipsPersistence
from gtda.plotting import plot_diagram

X, _ = make_circles(n_samples=100, noise=0.05) # Generate circle-shaped point cloud
vr = VietorisRipsPersistence(homology_dimensions=[0, 1]) # Persistent homology
diagrams = vr.fit_transform([X])

# Visualize
plot_diagram(diagrams[0])

Aplicaciones de la Topología

Data Analysis (TDA)
Robótica (Espacios de Configuración)
Física (Campos Cuánticos)
Computer Vision
Network Science